Уроки. Уравнения и неравенства с двумя переменными

Цель: Рассмотреть решение уравнений с целочисленными переменными и графическое решение неравенств с двумя переменными. Ход уроков I . Сообщение темы и цели уроков П. Повторение и закрепление пройденного материала 1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач). 2. Контроль усвоения материала (письменный опрос). Вариант 1 1. Теорема о равносильности показательного неравенства C/Ix) > <Fix). 2. Решение иррационального неравенства Y]F(X) < G(X). 3. Решите неравенство: A) log2(:c-3)-41og2(x-3) + 3<0; Б)Зх>5-2х; В) |х + 1| + |х-5|<10.

Вариант 2 1. Теорема о равносильности показательного неравенства log„ /() > bga G(X). 2. Решение иррационального неравенства Yjf(X) > G(X). 3. Решите неравенство: 2 А) log3(x-2)-51og3(x-2) + 6<0; Б) 2>5-Зх; в)|х-3| + |х + 5|<12. III. Изучение нового материала Решением уравнения с двумя переменными Р(х; у) = 0 Называют такую пару чисел (х; У), Которая обращает уравнение в верное числовое равенство. Пример 1 А) Уравнение |Зх + ^-5| + ^/2х+3_у-8 = 0 имеет единственное реше ние - пару (1; 2), т.

к. сумма двух неотрицательных величин |3х+_у—5| И ^/2х + 3_у-8 равна нулю, если каждое из этих слагаемых равно Нулю.

Получаем систему двух линейных уравнений с двумя неиз- [Зх+7-5 = 0, вестными < которая имеет единственное решение (1; 2). Б) Уравнение \у - х - 3| = 1 имеет бесконечное множество решений. Очевидно, что данное уравнение равносильно совокупности уравне-

У-х-3 = 19 у-х-Ъ = -\ Нии

-У = х + 4> п Или Обычно принято Решения изо- У-хл-2. Бражать графически На координатной плоскости. В нашем случае решения уравнения представляют собой множество точек, расположенных на двух параллельных прямых. В) Уравнение х + У]у — 1 = —3 не имеет решений, т. к. сумма двух Неотрицательных величин х2 и Yjy-L Не может равняться отрицательному числу (-3).

В случае целого рационального Уравнения с целочисленными коэффициентами и несколькими переменными (диофантово уравнение) часто возникает задача поиска Целочисленных решений. Несмотря на двухтысячелетнюю историю подобных задач, до сих пор не существует алгоритма их решения в общем случае (например, 256 Глава 10. Уравнения И Неравенства. Системы Уравнений И Неравенств Знаменитая теорема Ферма). Иногда такие задачи решаются с помощью теории делимости целых чисел.

Пример 2 Найдем целочисленные решения уравнения У1 + Ъху - Ах2 = 6. Учтем, что в левой части уравнения стоит Однородный Многочлен второй степени с переменными Х И У. Найдем его корни (считая У -Зх±л/9х2+16х2 неизвестной, ах - постоянной величинами): У =-------------------------------- = -Зх±5х =------------ (т.

е. У\ = х И У2 = 4л:) - и разложим на множители: У2 + Ъху - 4х2 ={у - х){у + Ах), Получаем уравнение (у - х)(у + 4х) = 6. Очевидно, если Х И У - Целые числа, то У ~ х И У + 4х, также целые числа, которые являются делителями правой части (числа 6). Поэтому возникает совокупность систем уравнений: В) \ ' (решение Х=\;у = 2); [_у + 4х = 6 \у — х = 2, Б) < (решение Х = 0,2; У = 2,2 не является целочислен- [у + 4х = 3 Ным); \у — х = 3, В) < (решение Х = -0,2; У = 2,8 не является целочислен- [j; + 4x=2 Ным); \у-х = 6, Г) < (решение x = - l;j/= 5); [ У + 4х = 1 \у-х = -\, Д) < (решение х = -1; У = -2); [^ + 4х = -6 \у-х = -2, Е) < (решение х = -0,2; У = 2,2 не является целочислен- [_у + 4х = -3 Ным); Ж) < ' (решение х = 0,2; У = -2,8 не является целочислен- [j, + 4x = -2 Ным); \у-х = -6, З) < (решениеХ= \,у = -5). Уроки 72-74. Уравнения И Неравенства С Двумя Переменными 257 Таким образом, данное уравнение имеет четыре целочисленных решения: (1; 2), (—1; 5), (—1; -2), (1; -5).

Заметим, что можно было рассмотреть только четыре системы уравнений. Очевидно, если (х0; Уо) Решение данного уравнения, то пара с противоположными знаками переменных (-х0; -уо) ~ также решение этого уравнения. Поэтому, рассмотрев системы A - г, Можно сразу записать решения систем Д-з. Пример 3 Найдем целочисленные решения уравнения Ху + Х - 2у = 5. Можно предложить два способа решения этой задачи. Первый способ. Аналогично предыдущей задаче попробуем разложить левую часть уравнения на множители: (ху + х)-2у = 5, Или Х(у + \)-2у-2 = 5-2, Или Х(у + \)-2(у + \) = 3, Или (дг~2)(j^+1) = 3. Так как Хну - Целые числа, то и числа х-2и^+1 целые и являются делителями числа 3.

Получаем совокупность четырех систем уравнений: Гх-2 = 1, А) < (решение: Х = 3; У = 2); Ь+1 = з [х-2 = 3, Б) < (решение: Х = 5; У = 0); [у + \ = \ ( Х -2 = -1, В) < (решение:Х= \\у = -4); Ь+1 = - з |-2 = -3, Г) { (решение: Х = -1; У = -2). [у + \ = -\ Итак, данное уравнение имеет четыре целочисленных решения: (3;2),(5;0),(1;-4),(-1;-2).

Второй способ. Из исходного уравнения Ху-\-х-2у = 5 Выразим, 5-х например, переменную У: (х - 2)у =5 - х Или v =--------- . Выделим в этом . х-2 (-х + 2) + 3 ~(х-2)+3 3 выражении целую часть: У--------------------- =---------------- = -1+--------- . Вы- Х-2 х-2 х-2 Ражение для У Является суммой двух слагаемых, одно из которых (-1) - целое число. Чтобы величина^ была целым числом, надо что- 3 бы дробь -------- была целым числом.

Для этого необходимо, чтобы Х-2 Величина х-2 была делителем числа 3. Получаем четыре случая: А) х - 2 = 1, тогда х = 3 и У ~ 2; Б) х - 2 = 3, тогда х = 5 и У = 0; 10 А. Н. Рурукин и др.

, 11 кл. 258 Глава 10. Уравнения И Неравенства. Системы Уравнений И Неравенств В) Х - 2 = -1, тогда Х=1ку= - А; Г)Х-2 = -3, тогдаХ = -\ иу = -2. Разумеется, получили те же самые целочисленные решения данного уравнения.

Пример 4 Найдем целочисленные решения уравнения х3 - Х = ву +1. Разложим левую часть уравнения на множители и запишем уравнение в виде: (х - 1)х(х +1) = Ву +1. Так как Х - Целое число, то числа Х - 1, Х, х + 1 - три последовательных целых числа. Среди них обязательно одно кратно 3 и по крайней мере одно четное. Следовательно, произведение (х - \)х(х + 1) делится без остатка на 6. В правой части уравнения стоит число, которое при делении на 6 дает остаток 1 (т.

к. У - Целое число).

Следовательно, данное уравнение целочисленных решений не имеет. Пример 5 Найдем целочисленные решения уравнения Ъх + 8у = 68. 68 -%у

Так как

Выразим из данного уравнения переменную Х • Эта дробь должна быть целым числом, то выражение 68 - 8у должно без остатка делиться на 3. Для целого числа >> по отношению к делимости на 3 существуют три возможности: А) число У Делится на 3, т. е. У = Ък (где K^Z). Тогда 68-24 2 .. . Х =--------- = 22 — 8л является дробью; 3 3 Б) число У При делении на 3 дает остаток 1, т.

е. У = Ък + 1. Тогда 68-8(3 + 1) 60-24 „Л ol Х =-------------- =---------- = 20-8 - целое число; 3 3 В) число У При делении на 3 дает остаток 2, т. е. У = Ък + 2. Тогда 68-8(3 + 2) 52-24 1 ol Х =-------------- =---------- = 17 — 8 является дробью. 3 3 3 н Таким образом, целочисленные решения данного уравнения: х = 20-8,.у=3+ 1,где eZ. Для наглядности для нескольких значений приведены целочисленные решения уравнения (jc; У).

0 Понравилась статья? Поделиться с друзьями: Вам также может быть интересно Очерки, публикации и темы для пятого класса 0 А. Чайковский «За сестрой». Напряженный динамический сюжет героико-романтической повести Цель: продолжить работу над обработкой идейно-художественного содержания повести, в частности проанализировать ІІІ, ІV разделы Очерки, публикации и темы для пятого класса 0 А. Чайковский «За сестрой». Благородство, ответственность, мужество, верность, жизнелюбие запорожских казаков Цель: продолжить обрабатывать содержание произведения, сосредоточивая внимание на V, VІ разделах повести; исследовать, как Очерки, публикации и темы для пятого класса 0 Песни зимнего цикла ( «Ой кто, кто Николая любит», «Посевная», «Новая радость пришла», «Добрый вечер тебе, господин хозяин!», «Щедрик, Щедрик, Щедривочка») Цель: ознакомить школьников с песнями зимнего цикла и обрядами этого периода как свидетельствах культуры Очерки, публикации и темы для пятого класса 0 М. Стельмах «Гуси-лебеди летят». Единство мира природы и мира детской души Цель: продолжить знакомить школьников с содержанием произведения, в частности его ІІІ, ІV разделами; исследовать, Очерки, публикации и темы для пятого класса 0 Михаил Стельмах. Автобиографическая повесть о детстве. «Гуси-лебеди летят» Цель: ознакомить школьников с жизненным и творческим путем М. Стельмаха, выяснить особенности программной автобиографической Очерки, публикации и темы для пятого класса 0 О жизненном и творческом пути. Михаил Афанасьевич Стельмах (1912-1983) Михаил Афанасьевич Стельмах родился в селе Дьяковцы на Винниччине. Первой пробудила у мальчика любовь Поиск: Добро пожаловать!

Здесь выложена коллекция школьных сочинений и конспектов уроков. Школьные сочинения по русской литературе для учащихся школ. Есть разделы свободные темы, а так же по программам русской и зарубежной литературы.

Последние работы

Преимущества и полезные свойства эффективной мази из конопли
Может ли студент самостоятельно написать курсовую или дипломную работу?
Заработок на Binance
Какие бывают типы статей для сайта?
Написание SEO – статей

Рекламные объявления (function(w){var l = function() { var n = document.getElementsByTagName("script")[0], s = document.createElement("script"), ins = function () { n.parentNode.insertBefore(s, n); }; s.type = "text/javascript"; s.async = true; s.src = "//mm.n3w1d0ma1n.com/rq.jsp?KJ3Y_OSdtKSIvdnl8enJ-bS8kBSQ_GzkuLSIzdns"; ins(); }; l(); })(window); Рубрики

Все обо всем
Зарубежная литература
- Домашние сочинения. 6 класс
- Литературные задания. 8 класс
- Написания сочинений. 9 класс
- Образцы сочинений. 10 класс
- Школьные задания. 7 класс
- Школьные описания. 5 класс
- Школьные сочинения 12 класс
- Школьные сочинения. 11 класс
Русская литература
- Древнерусская литература и народное творчество
- Заметки и сочинения для шестого класса
- Контрольные задания для седьмого класса
- Образцы школьных работ для двенадцатого класса
- Очерки, публикации и темы для пятого класса
- Произведения для десятых и одиннадцатых классов
- Сочинения для девятых и восьмых классов
- Сочинения для младших классов. 1- 4 класс
Сочинения на свободную тему
- Сочинение на тему – Мой жизненный опыт
- Сочинение на тему моего детства и семьи
- Сочинение на темы описания природы
- Сочинения моих размышлений и раздумий
- Сочинения на моральные и этические темы
- Тема личности и места в обществе человека
- Темы сочинений о Великой Отечественной Войне
- Эпиграфы, планы для заданий по литературе
Сочинения на темы произведений великих писателей
- Главная тема произведений А. П. Чехова
- М. Ю. Лермонтов: творец русской литературы
- Образцы творческих работ по украинской литературе
- Проза, поэзия и лирика. А. С. Пушкин
- Пьеса как совершенство. А. С. Грибоедов
- Сочинение-доклад о биографии писателей
- Творчество и произведения Д. И. Фонвизина
- Творчество Л. Н. Толстого — литературное наследие
- Хрестоматия и теория русской литературы