Дробове раціональне Рівняння
— це Рівняння
, в якого ліва або права частина або обидві — дробові вирази. Для його розв’язання доцільно діяти у такий спосіб: 1) перенести всі доданки в один бік; 2) звести їх до спільного знаменника; 3) до одержаного Рівняння
виду (де a і b — деякі цілі вирази) застосувати умову рівності дробу нулю; 4) знайти корені чисельника; 5) перевірити, чи не дорівнює знаменник нулю при цих значеннях невідомого; 6) записати відповідь. Приклад , , , , Дріб дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля: ; ; . , . Якщо , то . Якщо , то . Відповідь: . До дробових раціональних рівнянь приводить велика кількість задач на рух та спільну роботу. Приклади Задача 1 (на рух).
Теплохід пройшов течією річки 150 км і повернувся назад, витративши на весь шлях 5,5 години. Знайдіть швидкість течії річки, якщо швидкість теплохода в стоячій воді 55 км/год. Розв’язання
| Рух |
Швидкість (км/год) |
Час (год) |
Відстань (км) |
| За течією |
|
|
150 |
| Проти течії |
|
|
150 |
Нехай швидкість течії річки х км/год. Тоді за течією теплохід рухався зі швидкістю км/год і пройшов 150 км за год. Проти течії теплохід рухався зі швидкістю км/год і пройшов 150 км за год. За умовою задачі, на весь шлях він витратив 5,5 год. Складемо й розв’яжемо Рівняння
: , , , , , ; . Розв’язок –5 не задовольняє умову задачі: швидкість — число додатне. Відповідь: швидкість течії 5 км/год. Задача 2 (на сумісну роботу). Дві бригади, працюючи разом, виконали певне завдання за 4 дні.
Скільки днів потрібно на виконання цієї роботи кожній бригаді окремо, якщо першій бригаді для цього потрібно на 6 днів менше, ніж другій? Розв’язання. (Порівняйте розв’язання із задачею на сумісну роботу за 6-й клас.) Нехай перша бригада може виконати це завдання за х днів. Тоді другій потрібно днів.
Це означає, що за один день перша бригада виконає , а друга — частину всього завдання. За умовою задачі, разом вони можуть виконати все завдання за 4 дні, тобто в день дві бригади, працюючи разом, виконують всього завдання. Складемо й розв’яжемо Рівняння
: , , . За теоремою Вієта: , . Корінь не задовольняє умову задачі, тому що час — число додатне. ; . Відповідь: першій бригаді потрібно 6 днів, другій — 12 днів.
|
