Он родился на острове Саламини, как утверждают древние «Жизнеописания», в день Саламинской победы, когда на острове поселилось немало жителей Афин на время нашествия персов. Однако это сообщение подвергают сомнению, видя в нем умышленное стремление связать всех трагиков с Саламинской победой. Более достоверной считают дату 484 г. до н.э., указанную в «Паросской хронике». Аристофан в своей комедии «Женщины на празднике Фесмофорий» утверждает, что матерью Еврипида была торговкой. Но более поздний биограф Филохор отрицает это. Более надежные источники сообщают, что поэт был выходец из знатного рода и одно время даже служил при храме Аполлона Зостерия.

Известно, что Еврипид получил хорошее образование: учился у философов Протагора и Анаксагора, дружил с философами Архелаем и Продиком, был владельцем большого книгохранилища. В отличие от Эсхила и Софокла, более склонный к уединенной творческой жизни, Еврипид непосредственного участия в общественной жизни не брал. Однако произведения драматурга содержат многочисленные отзывы на острые вопросы современности.

При этом позиция автора, как и его эстетичные установки, нередко вступает в полемику с традицией, что вызвало недовольство многих современников. Так, например, Аристофан неоднократно пародировал и высмеивал его трагедии, задевая при этом и личную жизнь поэта. К примеру, в уже упомянутой комедии «Женщины на празднике Фесмофорий» Аристофан показал заговор женщин, которые решили растерзать Еврипида за то, что он на них клевещет, изображая в своих трагедиях в крайне непривлекательном виде. При этом Аристофан намекает на неверность жены поэта и т.д. Вероятно, вследствие этого вокруг Еврипида сложилась крайне неблагоприятная обстановка, из-за чего он покинул Афины. После недолговременного пребывания в фессалийской Магнесии Еврипид поселился в Македонии, где и умер в начале 406 г. до  н.э.

Злая молва окружила сплетнями даже смерть поэта: согласно одной версии, он будто бы был растерзан собаками, согласно другой - растерзанный женщинами (явное влияние комедии Аристофана). Непонятый современниками и оскорбленный ими, Еврипид в следующие столетия получил славу великого трагика, который подготовил искусство новой драмы. Известно, что за всю жизнь Еврипид написал и поставил большое количество произведений (ему приписывают от 75 до 98 драматических произведений). До нас же дошло только 18 пьес Еврипида. Лишь некоторые из них могут быть точно датированы и принадлежат преимущественно к периоду между 408 и 406 голами до н.э., что совпадает по времени с периодом творчества Софокла. Умерли поэты также в один год. Однако их драматургия содержит принципиальные отличия, на которые указывал еще Аристотель в XXV разделе своей «Поэтики».

Здесь он приводит слова, которые будто бы сказал сам Софокл, о том, что «лично он изображает людей, какими они должны быть, а Еврипид такими, какими они есть». Эта мысль в определенной мере может служить ключом к пониманию новаторства Еврипида. Действительно, Эсхил, а со временем - Софокл, предоставили трагедии высокий героический характер: центральные положительные персонажи выступали в них идеальными героями, образцами гражданской доблести, носителями моральных добродетелей.

В своих произведениях они защищали идейные основы полиса, провозглашали незыблемость общественных норм и традиций, воспевали умение подчинить личные интересы интересам общества, и потому их театр воспринимался греками как школа морали, школа воспитания гражданских добродетелей. Вместе с тем Еврипид в большей мере отобразил наступление кризиса афинской демократии, упадок полисной морали, усиление индивидуализма. Тягостная для афинян Пелопонесская война, которая затянулась, заострила все разногласия афинского рабовладельческого общества: от разногласий между рабами и свободными до разногласиям между Афинами и их союзниками. Давало знать о себе и влияние распространенных к тому времени философских учений: софистики, моральной философии Сократа, материализма Демокрита.

Эти разные по своему смыслу философские течения в своей совокупности будили мысль современников, воспитывали скептическое отношение к предыдущим догмам, нормам и представлениям, утверждали силу и значимость индивидуума. Закономерно, что в новых исторических обстоятельствах Еврипида интересовала прежде всего сфера его личной, а не общественной жизни. Согласно такому смещению угла зрения обязательное для трагедии столкновение человека с противоположными силами Еврипид переносит в плоскость человеческой души, изображая конфликт человека с самим собой. Поступки (а как следствие - несчастье и страдание) у героев по обыкновению вытекают из их характеров.

Таким образом, сравнительно со своими предшественниками, Еврипид в большей мере концентрирует внимание на изображении внутреннего мира героя. Драматург создает целую плеяду разнообразных характеров, изображая разные душевные порывы, противоречивые состояния, открывая их закономерность и неизбежность трагической развязки. Зритель присутствует при тончайших душевных переживаниях героев и открывает для себя сложность человеческой природы. Акцент на изображении психологии персонажей приводит к второстепенности драматической интриги. Еврипид уже не уделяет столько внимания построению действия, как, скажем, Софокл, хотя драматические конфликты в его пьесах острые и напряженные. Обратим, например, внимание на начала и концовки его драм.

Нередко в прологе Еврипид не только дает завязку трагедии, а и рассказывает заведомо ее главное содержание, чтобы в итоге переключить внимание зрителя с интриги на ее психологическое развитие. Примечательны также финалы драм Еврипида. Он пренебрегает естественным развитием и завершенностью действия и потому в финале часто предлагает внезапную, внешне искусственную развязку, по обыкновению связанную с вмешательством божества, которое появляется на специальной театральной машине. Поэтому неслучайно в дальнейшем подобный прием завершения действия стали именовать «deus ex mashina» («бог из машины»).